Exemples Étudiés

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Rappelons que les méthodes numériques développées ici permettent de résoudre l'équation différentielle :

y’ = f(t,y)
y(t0) = y0

dont l'existence et l'unicité de solution sont assurées par le théorème de Cauchy-Lipschitz.

La mise en œuvre de ces méthodes se fera grâce aux exemples ci-dessous, que nous mettrons sous la forme précédente. Il est en effet important de se placer dans le cadre d'application du théroème de Cauchy-Lipschitz pour pouvoir assurer l’existence et l’unicité de solution  des équations différentielles étudiées. Si l’existence n’est pas assurée, toute recherche de solution numérique est insensée. De même si l’on a existence sans unicité, les algorithmes de calculs de solution mis en œuvre ne seront pas fiables étant donné le risque potentiel d’oscillation entre les différentes solutions possibles. Le calcul numérique donnera dans ce cas un résultat inexploitable.

1. Pendule non amorti

L'équation du pendule non amorti peut se mettre sous la forme :

y" + ω sin(y) = 0
y(0)=1  et  y'(0)=0

Pour se ramener à une équation de la forme y’=f(t,y), on pose :

  • X = (y,y')
  • X0 = X(0) = (y(0),y'(0)) = (1,0)

Ce qui revient à résoudre

X'   = f(t,X)
X(0) = X0

avec

f(t,(X1,X2) ) ≡ (X2,-ω sin(X1))

En effet, par définition :

f(t,X) = f(t,(y,y')) ≡ (y',-ω sin(y))

qui vaut bien :

(y',y") ≡ X'  car  y"+ ω sin(y)=0.

On a bien finalement :

X'   = f(t,X)
X(0) = X0

De part le phénomène physique d'oscillation que ce système modélise, la solution reste bien entendu bornée.

2. Fonction Exponentielle

Ceci fait référence à la solution de :

y'   = -10 y
y(0) = 1

qui s'écrit  y(x) = exp(-10 x).

Ici f(t,y) = -10*y  et  y0 vaut 1.

3. Cercle Unité

On considère le système :

x'(t) = y(t)
y'(t) = −x(t)
x(0)  = 1, y(0) = 0

Dont la solution est le couple (x,y) = (cos,sin).

Ici il suffit de poser

X=(x,y) et f(t,X)=diag(1,-1)*X.

On parle de cercle unité car le point de coordonnées ce couple appartient au cercle centré en l'origine et de rayon 1.

4. Système Proie-Prédateur

Dans le même esprit que l'exemple précédant on pose

x'(t) = −c x(t) + d x(t) y(t) avec x(0) = x0
y'(t) = −a y(t) − b x(t) y(t) avec y(0) = y0

et  a, b, c, d > 0.

Ici également on peut poser

X=(x,y) donc X0=X(0)=(x0,y0)

f(t,X)=[-c d*X(1);-b*X(2) a]*X (notation Matlab)

Une étude théorique de ce système permet de montrer que :

  • si x0 > 0,  alors pour t > 0x(t) > 0;  de même pour y  (positivité des solutions).
  • Les solutions du système sont bornées et même périodiques.

Ces remarques nous seront utiles dans l'étude de la stabilité des méthodes utilisées.

Toutes ces équations différentielles sont autonomes dans le sens où f ne dépend pas explicitement de t, c'est-à-dire qu'on peut écrire y'=f(y).


Méthode d'Euler Explicite

Mise à jour le Vendredi, 31 Juillet 2009 11:54